Perché la figura di Federico Barbarossa ad un certo punto della storia venne riscoperta e strumentalizzata a fini politici sia in Italia che in Germania?

Non ci fu un motivo vero e proprio. Agli inizi dell'Ottocento, in pieno Romanticismo, andò molto di moda in tutta Europa riscoprire la storia del passato e rileggerla in chiave moderna, ovviamente ogni Stato lo faceva pro domo sua.

Questo ebbe una rilevanza anche politica: gli Stati già affermati ed esistenti (Francia, Regno Unito, Paesi Bassi, ecc.) usarono la storia del passato a scopo propagandistico, per esaltare loro stessi.
Lo si vede del resto benissimo attraverso ai monumenti, affreschi e quadri realizzati nel corso di quel secolo dove vennero idealizzati personaggi famosi del passato, fossero essi Vercingetorige, Boudicca, Arminio ecc.

Questo aspetto fu ancora più marcato rispetto a quelle nazioni ancora prive di uno Stato (Grecia, Belgio, Italia, Germania, slavi dei Balcani, ecc.).
In questo caso il periodo storico che si andava maggiormente a tratteggiare era il Medioevo: quando nacque l'Europa e iniziarono a costituirsi le prime lingue volgari, staccandosi dal latino.

Federico Barbarossa si apprestava particolarmente bene a livello simbolico sia per gli italiani che per i tedeschi.

I primi lo vedevano il nemico tedesco oppressore (un chiaro riferimento all'Austria) che fu sconfitto dagli italiani a Legnano (vedi anche l'inno di Novaro e Mameli che cita proprio questa battaglia)

Per i tedeschi, al contrario, esso assunse l'immagine del sovrano ideale che riunì attorno a sé i popoli della Germania (come ci si auspicava facesse presto la Prussia).